伽瑪函數(shù)的計算
伽瑪函數(shù)由以下復(fù)雜的外觀公式定義：
Γ（z）=∫∞e-ttz-1dt
人們第一次遇到這個令人困惑的等式時遇到的一個問題是：“你如何使用這個公式來計算伽瑪函數(shù)的值？“這是一個重要的問題，因為很難知道這個功能意味著什么，以及所有的符號都是什么。
回答這個問題的一種方法是用伽瑪函數(shù)查看幾個樣本計算。在我們這樣做之前，我們必須知道一些來自微積分的東西，例如如何整合I型不恰當(dāng)?shù)姆e分，以及e是一個數(shù)學(xué)常數(shù)。
動機
在進行任何計算之前，我們檢查這些計算背后的動機。很多時候伽瑪函數(shù)出現(xiàn)在場景后面。根據(jù)伽瑪函數(shù)陳述了幾個概率密度函數(shù)。這些例子包括伽瑪分布和學(xué)生t分布，伽瑪函數(shù)的重要性不容小視。
Γ（1）
我們將研究的第一個示例計算是找到Γ（1）的伽馬函數(shù)的值。這可以通過在上述公式中設(shè)置z=1來找到：
∫∞e-tdt
我們分兩步計算上述積分：
- 60>不定積分∫e-tdt=-e-t+C
- 這是一個不恰當(dāng)?shù)姆e分，所以我們有∫∞e-tdt=lim-e-b+e0=1
Γ（2）
我們將考慮的下一個例子計算與**一個例子類似，但是我們將96 z 97的值增加1.我們現(xiàn)在通過設(shè)置98 z 99 2來計算γ函數(shù)的值在上面的公式中。步驟與上述相同：
Γ（2）=∫∞e科普小說-tt dt
不定積分∫te-tdt=-te-t-e-t+C。雖然我們只將z的值增加了1，但計算這個積分需要更多的工作。為了找到這個積分，我們必須使用一種稱為逐個積分的微積分技術(shù)。我們現(xiàn)在使用如上所述的積分限制，需要計算：
lim-be-b-e-b-0e0+e0。
被稱為L'Hospital規(guī)則的微積分結(jié)果允許我們計算極限lim-be-b=0。這意味著我們上面積分的值是1。
Γ（z+1）=zΓ（z）
伽馬函數(shù)的另一個特征是公式Γ（z+1）=zΓ（z）z任何具有正實部的復(fù)數(shù)。這是真的原因是伽馬函數(shù)公式的直接結(jié)果。通過部分集成，我們可以建立伽瑪函數(shù)的此屬性。
