無偏和有偏估計(jì)
推論統(tǒng)計(jì)的目標(biāo)之一是估計(jì)未知的人口參數(shù)。通過從統(tǒng)計(jì)樣本構(gòu)建置信區(qū)間來執(zhí)行此估計(jì)。有一個(gè)問題是，“我們的估算器有多好？“換句話說，”從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，我們的統(tǒng)計(jì)過程估計(jì)人口參數(shù)的準(zhǔn)確性如何。確定估計(jì)值的一種方法是考慮它是否無偏。該分析要求我們找到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的預(yù)期值。
參數(shù)和統(tǒng)計(jì)
我們首先考慮參數(shù)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。我們考慮來自已知分布類型的隨機(jī)變量，但在此分布中具有未知參數(shù)。該參數(shù)成為總體的一部分，或者可以是概率密度函數(shù)的一部分。我們也有一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，這被稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量（X，X。，X）估計(jì)參數(shù)T，因此我們將其稱為T的估計(jì)量。
Unbiased and Biased Estimators
我們現(xiàn)在定義無偏和有偏估計(jì)。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，我們希望估算器與我們的參數(shù)匹配。用更**的語言，我們希望統(tǒng)計(jì)的期望值等于參數(shù)。如果是這種情況，那么我們說我們的統(tǒng)計(jì)量是參數(shù)的無偏估計(jì)量。
如果估計(jì)量不是無偏估計(jì)量，則它是有偏估計(jì)量。盡管偏置估計(jì)器的期望值與其參數(shù)沒有很好的對(duì)齊方式，但是當(dāng)偏置估計(jì)器可能有用時(shí)，有許多實(shí)際情況。一種這樣的情況是當(dāng)使用加四置信區(qū)間來構(gòu)建人口比例的置信區(qū)間時(shí)。
平均值
的示例為了了解這個(gè)想法是如何工作的，我們將研究一個(gè)與平均值相關(guān)的例子。統(tǒng)計(jì)
（X+X+。+X）/n 37>
被稱為樣本均值。我們假設(shè)隨機(jī)變量是來自具有平均值μ的相同分布的隨機(jī)樣本。這意味著每個(gè)隨機(jī)變量的期望值是μ。
當(dāng)我們計(jì)算統(tǒng)計(jì)的預(yù)期值時(shí)，我們看到以下內(nèi)容：
E[（X+X+。+X）/n]=（E[X]+E[X]+。+E[X]）/n=（nE[X]）/n=E[X]=μ。
由于統(tǒng)計(jì)量的預(yù)期值與其估計(jì)的參數(shù)匹配，因此這意味著樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量。
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