什么是圣彼得堡悖論？
你在俄羅斯圣彼得堡的街道上，一位老人提出以下游戲。他翻轉(zhuǎn)一枚硬幣（如果你不相信他是公平的硬幣，他將借用你的一枚）。如果它落下尾巴，那么你就會(huì)失敗，游戲就結(jié)束了。如果硬幣低落，那么你贏得一個(gè)盧布并且游戲繼續(xù)。硬幣再次被投擲。如果是尾巴，那么游戲結(jié)束。如果是頭，那么你再贏得兩個(gè)盧布。游戲繼續(xù)以這種方式。對(duì)于每一個(gè)連續(xù)的頭部，我們將前一輪的得分加倍，但是在第一個(gè)尾部的標(biāo)志處，游戲就完成了。
你會(huì)花多少錢來玩這個(gè)游戲？當(dāng)我們考慮這個(gè)游戲的預(yù)期價(jià)值時(shí)，無論成本是多少，你都應(yīng)該抓住這個(gè)機(jī)會(huì)。但是，從上面的描述來看，你可能不愿意付出太多錢。畢竟，沒有任何獲勝的可能性為50%。這就是所謂的圣彼得堡悖論，由于1738年出版的丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）對(duì)圣彼得堡帝國(guó)科學(xué)院的評(píng)論而得名。
Some probability
讓's從計(jì)算與此游戲相關(guān)的概率開始。公平硬幣產(chǎn)生的概率是1/2。每個(gè)硬幣折騰都是一個(gè)獨(dú)立的事件，因此我們可能使用樹形圖來乘以概率。
- 連續(xù)兩個(gè)頭的概率為（1/2）x（1/2）1/4。三個(gè)頭連續(xù)的概率為（1/2）x（1/2）x（1/2）1/8。為了表示連續(xù)25個(gè)n 26個(gè)頭的概率，其中27個(gè)n 28是一個(gè)正整數(shù)，我們用指數(shù)寫1/2 29 30 n 31 32。33
一些付款
現(xiàn)在讓我們繼續(xù)前進(jìn)，看看我們是否可以概括每輪中的風(fēng)選。
- 如果你在第一輪有頭，你會(huì)在那一輪中贏得一個(gè)盧布。
- 如果第二輪有頭在那一輪中心理健康知識(shí)手抄報(bào)內(nèi)容，你贏得了兩個(gè)盧布。
- 如果第三輪有頭，那么你在那一輪中贏得了四個(gè)盧布。
- 如果你幸運(yùn)的話，一直到nth一輪，那么你將在那一輪中贏得2n-1盧布。
游戲的預(yù)期價(jià)值
一場(chǎng)比賽的預(yù)期價(jià)值告訴我們，如果你多次玩游戲，獲勝的平均值是多少。為了計(jì)算期望值，我們將每輪的風(fēng)選值乘以進(jìn)入該輪的概率，然后將所有這些產(chǎn)品加在一起。
- 從第一輪開始，您的概率為1/2，風(fēng)選為1盧布：1/2 x 1=1/2
- 從第二輪開始，您的概率為1/4，風(fēng)選為2盧布：1/4 x 2=1/2
- 從第一輪開始，您的概率為1/8，風(fēng)選為4盧布：1/8 x 4=1/2
- 從第一輪開始，您的概率為1/16，風(fēng)選為8盧布：1/16 x 8=1/2
- 從第一輪開始，您的概率為1/2n和2n-1盧布：1/2nx 2n-1=1/2
每輪的值為1/2，將第一輪n的結(jié)果加在一起得出的預(yù)期值為n/2盧布。由于n可以是任何正整數(shù)，因此期望值是無限的。
悖論
那么你應(yīng)該花什么錢？從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，盧布，一千盧布甚至十億盧布都會(huì)低于預(yù)期值。盡管上述計(jì)算顯示了巨大的財(cái)富，但我們都不愿意付出很多錢。
解決悖論的方法很多。其中一種更簡(jiǎn)單的方法是沒有人會(huì)提供如上所述的游戲。沒有人擁有無限的資源d帶著去支付繼續(xù)翻身的人。
解決悖論的另一種方法是指出連續(xù)獲得20頭這樣的東西是多么不可能。發(fā)生這種情況的幾率比贏得大多數(shù)州樂團(tuán)要好。人們經(jīng)常以5美元或更少的價(jià)格玩這樣的樂團(tuán)。所以玩圣彼得堡游戲的價(jià)格可能不應(yīng)超過幾美元。
如果圣彼得堡的男人說玩他的游戲花費(fèi)的不僅僅是幾盧布，你應(yīng)該禮貌地拒絕和離開。無論如何，盧布都不值得。
