挑戰(zhàn)計(jì)數(shù)問題和解決方案

計(jì)數(shù)似乎很容易執(zhí)行。隨著我們深入到被稱為組合學(xué)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們意識到我們遇到了大量的數(shù)學(xué)。由于階乘經(jīng)常出現(xiàn)，并且數(shù)字如10！超過300萬，如果我們試圖列出所有可能性，計(jì)數(shù)問題可能會(huì)很快變得復(fù)雜。

有時(shí)，當(dāng)我們考慮計(jì)數(shù)問題可能帶來的所有可能性時(shí)，更容易思考問題的基本原則。這種策略比嘗試暴力列出許多組合或排列花費(fèi)的時(shí)間要少得多。

問題"有多少方法可以做？"與"完全不同的問題是什么？可以做什么的方法是什么？"我們將在以下一組具有挑戰(zhàn)性的計(jì)數(shù)問題中看到這個(gè)想法。

以下問題涉及三角形一詞。請注意，總共有八個(gè)字母。讓我們理解，三角形這個(gè)詞的元音是AEI，三角形這個(gè)詞的輔音是LGNRT。對于真正的挑戰(zhàn)，在閱讀之前，請?jiān)跊]有解決方案的情況下進(jìn)一步查看這些問題的版本。

問題美容院小知識

1. 三角形這個(gè)詞的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：在這里，第一個(gè)字母共有八個(gè)選擇，第二個(gè)字母有七個(gè)選擇，第三個(gè)字母有六個(gè)選擇，依此類推。通過乘法原理，我們總共乘以8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=8！=40320種不同的方式。
2. 如果必須運(yùn)行前三個(gè)字母（按確切順序），三角形字的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：我們選擇了前三個(gè)字母，給我們留下了五個(gè)字母。跑步后，我們?yōu)橄乱环庑胚x擇了五個(gè)選項(xiàng)，然后是四個(gè)，然后是三個(gè)，然后是兩個(gè)，然后是一個(gè)。通過乘法原理ple，有5 x 4 x 3 x 2 x 1=5！=120種以指定方式排列字母的方法。
3. 如果必須按任何順序運(yùn)行前三個(gè)字母，三角形字的字母可以排列多少種方式？
   解決方案：將其視為兩個(gè)獨(dú)立的任務(wù)：第一個(gè)安排字母運(yùn)行，第二個(gè)安排其他五個(gè)字母。有3個(gè)！=6種安排跑步的方法和5種！安排其他五個(gè)字母的方式。所以總共有3個(gè)！x 5！=720種按照規(guī)定排列三角形字母的方法。
4. 如果前三個(gè)字母必須按照任何順序運(yùn)行，三角形單詞的字母可以排列多少種方式**一個(gè)字母必須是元音？
   解決方案：將其視為三個(gè)任務(wù)：第一個(gè)安排字母運(yùn)行，第二個(gè)從I和E中選擇一個(gè)元音，第三個(gè)安排其他四個(gè)字母。有3個(gè)！=6種安排跑步的方法，2種從其余字母中選擇元音的方法和4種！安排其他四個(gè)字母的方式。所以總共有3個(gè)！X 2 X 4！=288按照規(guī)定排列三角形字母的方法。
5. 如果必須運(yùn)行前三個(gè)字母（以任何順序），并且接下來的三個(gè)字母必須是三角形字母，可以排列多少種方式三（以任何順序）？
   解決方案：我們還有三個(gè)任務(wù)：第一個(gè)安排字母運(yùn)行，第二個(gè)安排字母TRI，第三個(gè)安排其他兩個(gè)字母。有3個(gè)！=6種安排跑步的方式，3！安排三種方式和兩種方式安排其他字母的方式。所以總共有3個(gè)！x 3！X 2=72種按照指示排列三角形字母的方法。
6. 如果元音IAE的順序和位置不能，三角形單詞的字母可以排列多少種不同的方式改變？
   解決方案：三個(gè)元音必須保持相同的順序?，F(xiàn)在共有五個(gè)輔音可以安排。這可以在5中完成！=120種方式。
7. 多少如果元音IAE的順序不能改變，可以排列三角形單詞的字母的不同方式，盡管它們的位置可能（IAETRNGL和TRINGEL是可接受的，但EIATRNGL和TRIENGLA不是）？
   解決方案：**分兩步考慮。第一步是選擇元音去的地方。在這里，我們從八個(gè)中挑選出三個(gè)地方，我們這樣做的順序并不重要。這是一個(gè)組合，總共有C（8,3）=56種執(zhí)行此步驟的方法。其余五個(gè)字母可以排列成5個(gè)！=120種方式。這給出了總共56×120=6720的排列。
8. 如果元音IAE的順序可以改變，盡管它們的位置可能不會(huì)改變，三角形字的字母可以排列多少種不同的方式？
   解決方案：這與上面的#4完全相同，但字母不同。我們在3個(gè)字母中安排三個(gè)字母！=6種方式，另外5種字母為5！=120種方式。這種排列方式的總數(shù)是6 x 120=720.
9. 三角形單詞的六個(gè)字母可以排列多少種不同的方式？
   解決方案：由于我們正在討論一個(gè)排列，這是一個(gè)排列，總共有P（8,6）=8！/2！=20160方式。
10. 如果必須有相同數(shù)量的元音和輔音，三角形單詞的六個(gè)字母可以排列多少種不同的方式？
    解決方案：只有一種方法可以選擇我們要放置的元音。選擇輔音可以用C（5,3）=10種方式完成。然后有6！安排六個(gè)字母的方式。將這些數(shù)字乘以7200的結(jié)果。
11. 如果必須至少有一個(gè)輔音，三角形這個(gè)詞的六個(gè)字母可以排列多少種不同的方式？
    解決方案：六個(gè)字母的每種排列都滿足條件，因此有P（8,6）=20160種方式。
12. 有多少種不同的方式如果第元音必須與輔音交替？
    解決方案：有兩種可能性，第一個(gè)字母是元音，第一個(gè)字母是輔音。如果第一個(gè)字母是元音，我們有三個(gè)選擇，然后是五個(gè)輔音，兩個(gè)用于第二個(gè)元音，四個(gè)用于第二個(gè)輔音，一個(gè)用于**一個(gè)元音，三個(gè)用于**一個(gè)輔音。我們乘以這個(gè)得到3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3=360。通過對稱論證，從輔音開始有相同數(shù)量的安排。這給出了總共720個(gè)排列。
13. 從三角形這個(gè)詞可以形成多少個(gè)不同的四個(gè)字母集合？
    解決方案：由于我們正在談?wù)摽偣舶藗€(gè)中的一組四個(gè)字母，因此順序并不重要。我們需要計(jì)算組合C（8,4）=70.
14. 從具有兩個(gè)元音和兩個(gè)輔音的三角形單詞可以形成多少個(gè)不同的四個(gè)字母組？
    解決方案：在這里，我們分兩步形成我們的集合。有C（3,2）=3種方法從總共3個(gè)中選擇兩個(gè)元音。有C（5,2）=10種從五種可用中選擇輔音的方法。這給出了總共3x10=30組可能的結(jié)果。
15. 如果我們想要至少一個(gè)元音，那么從三角形這個(gè)詞可以形成多少個(gè)不同的四個(gè)字母組？
    解決方案：可以如下計(jì)算：

• 帶有一個(gè)元音的四組的數(shù)目是C（3,1）xC（5,3）=30。
• 具有兩個(gè)元音的四組的數(shù)目是C（3,2）xC（5,2）=30。
• 具有三個(gè)元音的四組的數(shù)目是C（3,3）xC（5,1）=5。

這總共提供了65個(gè)不同的集合?；蛘?，我們可以計(jì)算出有70種方法可以形成一組任意四個(gè)字母，并減去C（5,4）=5種方法來獲得沒有元音的集合。