五次函數(shù)的求解方法

五次函數(shù)的求解方法

一般的五次方程沒有統(tǒng)一的公式解存在。 Clone于2009年寒假在山東省濰坊市市委*校跟江西省數(shù)學(xué)會副會長陶平生先生討論五次方程是否有公式解的時候，陶平生先生否定有統(tǒng)一的公式解一說。

陶平生先生認(rèn)為：群論是解決該問題的一種很好的方法。

其實，在我們的人教B版高中數(shù)學(xué)課本《選修3-4對稱與群》里，已經(jīng)說明：**，1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數(shù)方程通用的求根公式是不存在的;第二，伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒有統(tǒng)一的求根公式;第三，伽羅瓦能給出恰好有H=Sn的方程，而在群論里面很容易證明當(dāng)n≥5時，Sn不是一個可解群 。但可以用二分法近似的求出方程的解。五次函數(shù)f（x）=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f其導(dǎo)數(shù)為f‘（x）=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e，對于其導(dǎo)數(shù)，我們可以對函數(shù)進(jìn)行求極值點與求其單調(diào)區(qū)間。

關(guān)于五次方程，請問誰能把阿貝爾定理的證明給我看一下！老夫非常感謝

論證阿貝爾定理的錯誤 一元五次或更高次的一元方程沒有一般的代數(shù)求根公式存在，被數(shù)學(xué)史上稱之為阿貝爾定理，可惜原來是一個錯誤定理。下面讓我來論證他的錯誤性。

為了讓諸位更清楚我的論證過程 首先我把我的大致論證思路作一個簡單介紹。

我是這樣想的，能不能找出一條方程求根公式的推導(dǎo)規(guī)律呢？結(jié)果發(fā)現(xiàn)完全可能，原來有二個沒有被人類認(rèn)識的數(shù)學(xué)新定理可以幫我們的忙。一個是同解方程判別定理。這個定理的大意是：任意二個一元高次方程，要知道它們是否互為同解方程，都可通過二個方程的系數(shù)關(guān)系來判別。判別式可通過韋達(dá)定理推算出來。

判別式等于零，它們必互為同解方程。否則必不是同解方程。 第二個是公解方程式必可求定理。

大意是：二個互為同解的一元高次方程，一定可推導(dǎo)出它們的公解方程式。后來，我就想如何利用二個數(shù)學(xué)新定理應(yīng)用到一元高次方程求根公式的推導(dǎo)上來。結(jié)果我們把方程求根問題轉(zhuǎn)移到求另一同解方程的系數(shù)問題。

而另一同解方程系數(shù)有二個或二個以上，只要圍繞判別式等于零的函數(shù)關(guān)系，對另一方程系數(shù)取值，都可得到和原方程有同解的方程。為使待求的同解方程的所有系數(shù)都可求出，我試圖將其中一個系數(shù)通過配方的辦法配成在一個括號里，那么，要達(dá)到這個目的其它系數(shù)該取什何值呢，結(jié)果解一個降了次的方程式。而配在一個括號里的那個系數(shù)可通過已求出的系數(shù)，方程移項開方的辦法求出。

那么同解方程就算出來了。再根據(jù)定理公解方程式必求定理算出那個相同的解。 如何推出驗證二方程是否為同解方程的判別式來呢，我是這樣做的，假設(shè)其中一個方程的所有根分別為未知數(shù)X1，X2，X3等等把這些未知根分別代入到另一方程等式左邊，每個未知根代入的情況當(dāng)成一個因式，各因式相乘再展開，展開后，把它們按阿貝爾族形式的分類排列，再通過韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，將未知根X1，X2，X3等等全部換算成方程的系數(shù)已知數(shù)，這樣系數(shù)組成的判別式就出來了，判別式等于零時，二個方程必是同解方程。否則必不是同解方程。

順便說明一下，利用判別定理還可以對高次方程組進(jìn)行快速消元。 那么第二個定理是如何推導(dǎo)出來的呢，我們知道二個方程之間有幾種如下情況：一種是二個一元方程之間公共著多個解，即一個方程的所有解，完全存在在另一個方程中，這種情況其實就是一個方程的左邊能完全整除另一方程左邊。二種是一個方程和另一方程有多個或一個相同的解，但不完全含另一方程的所有解。這種情況其實就是一個方程左邊不能完全整除另一方程左邊，它必出現(xiàn)余式，而余式不是以常數(shù)出現(xiàn)，如果把余式寫成等于零的方程，則余式等于零的方程必含有二個方程公共相同根存在，這是因為較高次方程的左邊，均可化成二部分，即可整除另一方程左邊的部分和剩下不可以再除的余式部分，而可整除部分用另一方程任意一根代入都是零，而余式部分卻不同，它用二方程之間的任意一個同解根代入必為零，否則二個方程不存在同解，因此，余式等于零的方程中，含有二個方程的所有公共根，而此方程方次，比另一方程至少要低。

第三種就是二個方程沒有同解。沒有同解的方程，對我們研究推導(dǎo)公式，無任何邦助，不再討論。而**種情況，我們無法降次求解，我們需要的是第二種情況。如果第二種情況下，余式等于零的方程中除含二方程同解根之外還含雜根，我們還可以消除雜根，具體方法是，把余式等于零的方程變成**次項系數(shù)變成1的形式，而先前二個方程中方次較低的方程左邊又可以化成二部分，一部分是能整除變更后的余式方程左邊，及不可再除的余式，同理，不可再除的余式取為零，變成方程式，它同樣含所有同解根的，情況同前類似，以此類推，一直可推出不再含雜根的公解方程式。

因為有二個新定理可以利用，利用判別定理，我們就可以圍繞判別式等于零來求另一個和原方程有同解的方程的系數(shù)，只要另一方程在通常情況下，不含原方程所有的解，則根據(jù)公解方程式必可求定理，得出一個降了次的方程式。一元三次方程和一元四次方程求根公式推導(dǎo)過程較簡單，只要推導(dǎo)出它們分別與一元二次方程有同解的方程來，再通過公解方程的求法，便求出求根公式，一元五次方程要復(fù)雜很多，涉及如何將多元方程組利用多余的變量的設(shè)置化成特殊高次方程組的過程，思考這個問題我花了五年時間終于在2004年找到規(guī)律，下面是推導(dǎo)一元五次方程求根公式的說明。 同上理，我只要找到一個和一元五次方程有同解的一元高次方程，且這個高次方程通常情況下不包含一元五次方程所有根在內(nèi)，根據(jù)公解方程必可求定理，我們就可以得出一個低于五次方的一元方程。

我們假設(shè)有一個一元十一次方程和這個一元五次方程是同解方程。因此把求方程根的問題轉(zhuǎn)到求另一方程系數(shù)問題，二個方程分別必可寫成**次方系數(shù)均為1的基本形式。而從高至低方程系數(shù)均用字母表示，先推導(dǎo)出二個方程有同解的判別式，推導(dǎo)過程如下;用一元五次方程的五個未知根X1，X2，X3，X4，X5分別代入一元十一次方程左邊，各根代入的情況作一個因式，共五個因式相乘，展開，按阿貝爾族的排列形式，根據(jù)韋達(dá)定理，根與系數(shù)的等量代換，所有按阿貝爾族排列的都可換算成一元五次方程的系數(shù)來表示，因此可推算出判別二方程是否為同解方程的系數(shù)組成的判別式。

在推導(dǎo)判別式時，一元十一次方程的系數(shù)，在每個因式中都是以一次方形式出現(xiàn)，五個因式相乘展開的結(jié)果必是十一元五次代數(shù)式，而X1，X2，X3，X4，X5都可變成用一元五次方程的系數(shù)來表示，圍繞判別式等于零這個中心來對一元十一次方程的系數(shù)取值，都可得到與一元五次方程有同解的方程。維繞判別式等于零組成的方程來求一元十一次方程的所有系數(shù)，我可以這樣做，在判別式等于零方程里，從十一個系數(shù)中選擇一個系數(shù)配成特殊可解的一元五次方程形式，由因為我們有其他十個系數(shù)的值可以任我來設(shè)值，要配成特殊一元五次方形式應(yīng)當(dāng)沒有多大問題，那么啥樣的百科一元五次方程可以用之前人類已掌握的知識解決呢？一種是未知數(shù)全在一個括號5次方內(nèi)的，第二種為系數(shù)之間有另存在一種特殊關(guān)系的，第三種是能參照一元三次方程公式創(chuàng)始人做法的特殊一元五次方程，通過多次嘗試，淘汰前二種可能，再試一試能否變成**那種方程。有人會問那是一種怎樣的方程呢？在此我必須要介紹一下那種特殊方程，即方程的五次方項系數(shù)為1，方程四次方項和二次方項的系數(shù)是0，方程立方項系數(shù)的平方是-5倍于一次方項系數(shù)，這種特殊方程可沿用推導(dǎo)一元三次方公式的類似辦法解決。在此順便說明一下，有一種特殊的一元七次方程也可以利用此種辦法推導(dǎo)公式暫且不論。

由于版面不支持上標(biāo)下標(biāo)，會把上標(biāo)下標(biāo)與橫標(biāo)相混淆，請大家花些時間自已去驗證一下。 要把一元五次方程中四次方項的系數(shù)變成0 ，大家都知道可參照一元二次方程配方的辦法變成新方程，新方程未知數(shù)中含有原方程未知數(shù)成份，并不需要對其他十個系數(shù)進(jìn)行另外設(shè)值。變成新方程后，如果再將新方程其它系數(shù)特殊化就要通過原來十個系數(shù)的設(shè)值了，首先把新方程的平方項系數(shù)設(shè)值成零，其實，就是含上術(shù)十個系數(shù)的三次方函數(shù)關(guān)系式，而把新方程四次方項系數(shù)的平方設(shè)成等于新方程一次方系數(shù)的-5倍，其實就是關(guān)于含上術(shù)十個系數(shù)的四次方函數(shù)關(guān)系式，這二個關(guān)系式組成十元四次二式方程組，如何利用多余的元素設(shè)值變成特殊的二元四次二式方程組呢？仍然是利用對多余元素設(shè)值達(dá)到我們配成立方的辦法，我們的任務(wù)就是把上面方程組中**個關(guān)系式變成只含二個元素代數(shù)式的括號立方減系數(shù)乘只含一個元素的代數(shù)式括號立方等于零的方程式。

做法如下： 從上面多元方程組中的**個關(guān)系式中選擇其中一個元素作為配方對象，并利用其他元素的設(shè)值，幫助這個元素能配成在一個括號立方之內(nèi)，同上理，要把平方項系數(shù)配成零，并不需要對其他多余元素另外設(shè)值，也只是變成了新元素的方程，我們只要把新元素方程的一次方系數(shù)設(shè)成零的函數(shù)，其實就是另9個元素的二次函數(shù)關(guān)系式，這樣設(shè)好后，有一個元素就全配方在一個括號立方里了，括號外面為另9個元素三次方多項式了，此時我們不必急于另選一個元素配在一個括號立方之內(nèi)。我們還有任務(wù)沒完成，前面我們把新元素方程一次方項系數(shù)設(shè)成零時，其實仍是多元二次函數(shù)形式，用其它元素來表示其中某元素時必含根式，因此還須降次，降次方法如下： 因為是二次函數(shù)，我們選擇其中一個元素全配方在括號平方內(nèi)時，并不需要對其他元素另外設(shè)值就能辦到，而括號外的我們又選擇另一個也同樣又配在另一括號平方之內(nèi)，如此一個一個地選擇元素配方，這樣配成9個括號和一個常數(shù)項，共有10項了，如果我們在此函數(shù)下再選前8個括號中每二個括號之和或差設(shè)值為零，則**一個括號與常數(shù)項之和必為零，通過**一個號與常數(shù)項之和等于零的方程式，可求出一個元素值來，把求出的元素代入方程組中，這樣就變成特殊的 八元二次四式方程組，而方程組中每一式都可移項開方變成多元一次方程式。所以方程組又變成八元一次四式方程組了，如果把八元中四個元素暫當(dāng)成已知數(shù)，來求另四個元素，則另四個元素中每個元素必可用那四個元素來表示，所表示的情況，連同已直接求出的那個元素代入原先已配好的立方括號內(nèi)去，只合并同類項而不展開。立方括號外也同樣代入，但要展開和合并同類項，因此立方括號內(nèi)含五個元素，括號外只含四個元素的代數(shù)式了，現(xiàn)在可以對括號外的代數(shù)式選中一個元素全配方在一個括號立方之內(nèi)了，為了把那個選擇好的元素的立方項系數(shù)變成1，整個方程同除以那個系數(shù)就行，同上理要把它配成缺平方項的形式，不需要對其他元素另外設(shè)值，只是成了新元素形式。

當(dāng)把新元素一次方項的系數(shù)設(shè)成零，則又一個元素全配成在另一個立方括號內(nèi)了，，設(shè)值的結(jié)果是三元二次函數(shù)式了，用上面同樣的方法，可將這個三元二次函數(shù)配成三個括號平方和或差及一個常數(shù)項，把前二個括號平方和或差設(shè)成等于零，則后一個括號與常數(shù)之和或差必是零。通過后一個括號平方與常數(shù)組成的方程又可解出一個元素值。代入前二個括號平方和或差等于零的方程中，移項開平方，變成二元一次方程，通過這個二元一次方程，其中一個元素值可以用另一個元素來表示了，把這種表示方式連同已算出的元素值代入**個配成的括號立方之內(nèi)變成只含三個元素的括號立方，代入第二個配好的括號立方內(nèi)變成只含二個元素的括號立方，代入括號立方之外的函數(shù)中則變成一個元素的代數(shù)形式，我們設(shè)值括號外的代數(shù)式等于零，則解一個一元三次方程便可求出，求出后代入二個先后配好的括號立方之內(nèi)，則變成前一括號立方內(nèi)只含二個元素，后一個括號立方只含一個元素，通過移項開立方變成只含二個元素的一次方方程式。

這樣，原先的十元四次二式方程組中的第1式就變成了二元一次方程式了，而**多元方程組中第2式的消元過程，應(yīng)當(dāng)是和第1式消元過程是同步進(jìn)行的，第二式應(yīng)當(dāng)變成二元四次方程式了。因為這樣的方程組可以通過人類現(xiàn)有的知識解出。把十個系數(shù)的求出，代入到前面配成的多元五次方程，得出特殊的一元五次方程，求出**一個系數(shù)，此時已算出和原題一元五次方程有。

一元5次方程，解法？

代數(shù)方程的無理數(shù)解都是代數(shù)數(shù)、都是可以用根式表示的、、當(dāng)然我們能不能把它們表示出來是另一回事 = =、、5次及5次以上的代數(shù)方程沒有一般的解法、是說5次及5次以上的代數(shù)方程的解我們不一定能夠把它們的解用根式表示出來、、就是不一定可以求得準(zhǔn)確解、 你所給的方程只有一個實根、、大概是0.687…應(yīng)該是可以用根式準(zhǔn)確地表示這個實根的、、只是俺沒有本事表示 = =、

如果函數(shù)開5次導(dǎo)怎么表示

如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為原來函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作y\’、f\’（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)y=f（x）在x0點的導(dǎo)數(shù)f\’（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）。

擴(kuò)展資料：導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點。當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，沒有增減性，即沒有極值點。但導(dǎo)數(shù)為零。（導(dǎo)數(shù)為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點。

可導(dǎo)函數(shù)的凹凸性與其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有關(guān)。如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，那么這個區(qū)間上函數(shù)是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導(dǎo)函數(shù)存在，也可以用它的正負(fù)性判斷，如果在某個區(qū)間上恒大于零，則這個區(qū)間上函數(shù)是向下凹的，反之這個區(qū)間上函數(shù)是向上凸的。