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有幾種正多面體？

正多面體的種數(shù)很少。多面體可以有無(wú)數(shù)，但正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。

證明頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E設(shè)正多面體的每個(gè)面是正n邊形，每個(gè)頂點(diǎn)有m條棱。

棱數(shù)E應(yīng)是面數(shù)F與n的積的一半（每?jī)擅婀灿靡粭l棱），即nF=2E ————– ①同時(shí)，E應(yīng)是頂點(diǎn)數(shù)V與m的積的一半，即mV=2E ————– ②由①、②，得F=2E/n, V=2E/m,代入歐拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.由于E是正整數(shù)，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2 ————– ③說(shuō)明m,n不能同時(shí)大于3，否則③不成立。另一方面，由于m和n的意義（正多面體一個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)與多邊形的邊數(shù)）知，m≥3且n≥3。

正多面體為什么只有5種？

僅有的五種正多面體，即是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
所謂正多面體，當(dāng)然要首先保證它是一個(gè)多面體，而它的特殊之處就在于它的每一個(gè)面都是正多邊形，而且各個(gè)面的正多邊形都是全等的。

也就是說(shuō)，將正多面體的各個(gè)面剪下來(lái)，它們可以完全重合。

雖然多面體的家族很龐大．可是正多面體的成員卻很少，僅有五個(gè)。
設(shè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)有m條棱，每個(gè)面都是正n邊形，多面體的頂點(diǎn)數(shù)是V，面數(shù)是F，棱數(shù)是E。因?yàn)閮蓚€(gè)相鄰面有一公共棱，所以
因?yàn)閮蓚€(gè)相鄰頂點(diǎn)有一公共棱，所以
又因多面體的Euler定理，得V+F-E=2，從上面三式可得

要使得上面的式子成立，必須滿足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因?yàn)閙≥3，所以

于是n<6。

當(dāng)n=3時(shí)，m<6，所以m能取的值是3、4、5;
當(dāng)n=4時(shí)，m<4，所以m能取的值是3;
當(dāng)n=5時(shí)，m<10/3，所以m能取的值是3。
當(dāng)n=3，m=3時(shí)，V=4，F(xiàn)=4，E=6;當(dāng)n=3，m=4時(shí)，V=6，F(xiàn)=8，E=12;當(dāng)n=3，m=5時(shí)，V=12，F(xiàn)=20，E=30;當(dāng)n=4，m=3時(shí)，V=8，F(xiàn)=6，E=12;當(dāng)n=5，m=3時(shí)，V=20，F(xiàn)=12，E=30;所以正多面體只有上述五種。
經(jīng)典多面體
在經(jīng)典意義上，一個(gè)多面體（polyhedron） (英語(yǔ)詞來(lái)自希臘語(yǔ) πολυεδρον，poly-，就是詞根πολυ?, 代表\”多\”， + -edron，來(lái)自εδρον，代表\”基底\”，\”座\”，或者\(yùn)”面\”)是一個(gè)三維形體，它由有限個(gè)多邊形面組成，每個(gè)面都是某個(gè)平面的一部分，面相交于邊，每條邊是直線段。

而邊交于點(diǎn)，稱為頂點(diǎn)。立方體，棱錐和棱柱都是多面體的例子。多面體包住三維空間的一塊有界體積;有時(shí)內(nèi)部的體也視為多面體的一部分。百科

一個(gè)多面體是多邊形的三維對(duì)應(yīng)。多邊形，多面體和更高維的對(duì)應(yīng)物的一般術(shù)語(yǔ)是多胞體。
正多面體　所謂正多面體，是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角。

例如，正四面體（即正棱錐體）的四個(gè)面都是全等的三角形，每個(gè)頂點(diǎn)有一個(gè)三面角，共有三個(gè)三面角，可以完全重合，也就是說(shuō)它們是全等的。

正多面體有幾種?有36面體嗎?有68面體嗎?

正多面體總共只有五種.每個(gè)面都是正三角形的有3種.分別是：正四面體;正八面體和正二十面體.每個(gè)面都是正方形的只有正六面體（俗稱正方體）.每個(gè)面都是正五邊形的只有正十二面體.另外,有36面體,但沒(méi)有正36面體;有68面體,但沒(méi)有正68面體.

為什么正多面體的分類只有五種

也就是說(shuō)，將正多面體的各個(gè)面剪下來(lái)，它們可以完全重合。

要使得上面的式子成立，必須滿足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因?yàn)閙≥3，所以

于是n<6。

2、正多面體的外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合。
3、正多面體的外心、內(nèi)心、內(nèi)棱心重合的點(diǎn)稱為該正多面體的中心。
4、正多面體除正四面體外過(guò)任頂點(diǎn)和正多面體中心的直線必然經(jīng)過(guò)正多面體的另一頂點(diǎn)，并且這兩個(gè)頂點(diǎn)到正多面體中心的距離都相等。

5、除正四面體外，連線經(jīng)過(guò)正多面體的f11心的兩點(diǎn)稱為相財(cái)頂點(diǎn)，連兩雙相對(duì)頂點(diǎn)的兩條棱稱為正多面體的對(duì)棱，由對(duì)棱圍成的兩個(gè)面稱為正多面體的對(duì)面。
6、除正四面體外，正多面體的對(duì)棱、對(duì)面都平行。

為什么正多面體只有5種

1、證明：設(shè)正多面體的每個(gè)面是正n邊行，每個(gè)頂點(diǎn)是m條棱，于是，棱數(shù)E應(yīng)是F（面數(shù)）與n的積的一半，即Nf=2E（1式）。同時(shí)，E應(yīng)是V（頂點(diǎn)數(shù)）與M的積的一半，即mV=2E（2式）。

由1式、2式，得，F(xiàn)=2E/n,V=2E/m，代入歐拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E。

2、由于E是正整數(shù)，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2（3式），3式說(shuō)明m,n不能同是大于3，否則3式不成立。另一方面，由于m和n的意義（正多面體一個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)與多邊形的邊數(shù)）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個(gè)等于3。

3、當(dāng)m=3時(shí)，因?yàn)?/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數(shù)，所以n只能是3，4，5。 4、同理n=3，m也只能是3，4，5，所以nm類型，33正四面體，43正六面體，34正八面體，53正十二面體，35正二十面體，由于上述5種多面體確實(shí)可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體，所以正多面體只有5種。

正多面體只有5個(gè)嗎`？

正多面體只有正四面體、正八面體、正六面體、正十二面何等和正二十面體五種。我們現(xiàn)在來(lái)證明，最多只有5個(gè)正多面體（如圖）至于確有5個(gè)正多面體存在，那是早就知道的事（古希臘柏拉圖(Plato)時(shí)候）。

圖形以及制造模型方法，可以參看史泰因豪斯（Steinhaus）著《數(shù)學(xué)萬(wàn)花鏡》。

①證明對(duì)于正多面體，假設(shè)它的各面都是正n邊形，而且每一個(gè)頂角處有r個(gè)邊相遇。這樣就有： nF=2E (1) rV=2E (2)(1)的右邊系數(shù)2是因?yàn)槊窟叧霈F(xiàn)在2面中，（2）的右邊系數(shù)2是因?yàn)槊窟呁ㄟ^(guò)2個(gè)頂角。把（1）和（2）代入歐拉公式中，就得到：或（3）顯然n≥3，r≥3，因?yàn)槎噙呅沃辽儆腥?，而在每頂角處也至少有三邊。但n＞3，且r＞3又是不可能的，因?yàn)槟菢泳鸵?，可是E＞0。

所以r和n中至少有一個(gè)等于3。設(shè)n=3，那末，因此r=3,4,5,由是E=6，12，30，而F=4，8，20，這就給出了正四面體，正八面體和正二十面體。設(shè)r=3，那末，因此n=3,4,5，由是E=6，12，30，而F=4，6，12，這就給出了正四面體，正六面體（即立方體）和正十二面體。