簡析幾個(gè)典型的古代數(shù)學(xué)問題
簡析幾個(gè)典型的古代數(shù)學(xué)問題
關(guān)鍵詞：雞兔同籠 百雞問題 孫子定理 數(shù)學(xué)在**擁有悠久的歷史，在古人的智慧中，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，探尋數(shù)學(xué)之趣， 數(shù)學(xué)的好玩之處，并不限于數(shù)學(xué)游戲。數(shù)學(xué)中有些極具實(shí)用意義的內(nèi)容，包含了深刻的奧妙，發(fā)人深思，使人驚訝。
**古代的數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，對**古代的農(nóng)業(yè)、天文學(xué)等的發(fā)展作出了重大貢獻(xiàn)。
其中的一些膾炙人口的趣味小問題也讓我們在探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。 1.雞兔同籠問題 雞兔同籠問題是我國古代一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題。它記載于大約1500年前的《孫子算經(jīng)》中，書中是這樣描述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這句話的意思是：若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有三十五個(gè)頭：從下面數(shù)，有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔？用解法一（假設(shè)法）：已知雞兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，即，將兔子看做兩只腳的雞，雞兔總的腳數(shù)是35×2=70（只），比題中說的94只要少24只。
可知這24只腳是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）百科。所以有雞35-12=23（只）。 解：假設(shè)全是雞： 35×2=70（只）比總腳數(shù)少：94-70=24（只）它們腳數(shù)的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）雞：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：設(shè)兔有x只，則雞有35-x只。
4x+2（35-x）=942x=24x=1235-12=23（只）故：有雞23只，兔12只。除此之外還有 解法3：（兔的腳數(shù)×總只數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=雞的`只數(shù)總只數(shù)－雞的只數(shù)=兔的只數(shù)解法4（ 總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)） =兔的只數(shù)總只數(shù)－兔的只數(shù)=雞的只數(shù)解法5：總腳數(shù)÷2—總頭數(shù)=兔的只數(shù)總只數(shù)—兔的只數(shù)=雞的只數(shù)解法4： 雞的只數(shù)=（4×雞兔總只數(shù)-雞兔總腳數(shù)）÷2 兔的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù)6解法7兔總只數(shù)=（雞兔總腳數(shù)-2×雞兔總只數(shù)）÷2 雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù)一個(gè)簡單的雞兔同籠問題卻能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通過對一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題的剖析，你是否從中發(fā)現(xiàn)了探索的樂趣呢？在探索的過程中你是否體味到數(shù)學(xué)解題思想的變幻之美呢？ 2.百雞問題 百雞問題記載于**古代約5-6世紀(jì)成書的《張丘建算經(jīng)》中，該問題導(dǎo)致的三元不定方程組開創(chuàng)了“一問多答的先例”這是過去**古算書書中所沒有的，體現(xiàn)了**數(shù)學(xué)的發(fā)展。書中寫道：今有雞翁一，值錢伍;雞母一，值錢三;雞鶵三，值錢一。
凡百錢買雞百只，問雞翁、母、鶵各幾何？意思是：公雞每只值5文錢，母雞每只值三文錢，而3 只小雞值1 文錢?，F(xiàn)在用100 文錢買100 只雞，問：這100 只雞中公雞、母雞和小雞各有多少只？，原書的答案是：“答曰：雞翁四，值錢二十;雞母十八，值錢五十四;雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十;雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。
又答：雞翁十二，值錢六十;雞母四、值錢十二;雞鶵八十 四，值錢二十八。 ”這個(gè)問題流傳很廣，解法很多，但從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，它實(shí)際是一個(gè)求不定方成整數(shù)解的問題。解：設(shè)公雞、母雞、小雞分別為x、y、z只。則,由題意知: ①x＋y＋z ＝100②5x＋3y＋(1/3)z ＝100令②×3－①得: 7x＋4y＝100’所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t, （t為整數(shù)）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=75+3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因?yàn)閤,y,z大于等于0所以4t≥025-7t≥075+3t≥0解之得：0≤t≤25/7又t為整數(shù)所以t=0,1,2,3當(dāng)t=0時(shí)x=0,y=25,z=75當(dāng)t=1時(shí)x ＝4;y ＝18;z ＝78當(dāng)t=2時(shí)x ＝8;y ＝11;z ＝81當(dāng)t=3時(shí)x ＝12;y ＝4;z ＝84小小的一個(gè)百雞問題讓我們看到了古人數(shù)學(xué)智慧，一題多答的解題方法也讓我們感受到數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)之外多變的魅力。
3.孫子定理 孫子定理來源于物不知其數(shù)問題，出自于一千六百年前我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》。原題為：\”今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問物幾何？\”變成一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題就是：有一個(gè)數(shù)，用3除余2，用5除余3，用7除余2。這個(gè)問題很簡單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會(huì)想到23;23恰好被5除余3，所以23就是本題的一個(gè)答案。
另一個(gè)**的例子：韓信點(diǎn)一隊(duì)士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問：這隊(duì)士兵至少有多少人？這個(gè)題目是要求出一個(gè)正數(shù)，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。用3除余2這個(gè)條件開始。滿足這個(gè)條件的數(shù)是3n+2，其中n是非負(fù)整數(shù)。
要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，?代入來試。當(dāng)n=1時(shí)，3n+2=5，5除以5不用余3，不合題意;當(dāng)n=2時(shí)，3n+2=8，8除以5正好余3，可見8這個(gè)數(shù)同時(shí)滿足用3除余2和用5除余3這兩個(gè)條件。**一個(gè)條件是用7除余4。
8不滿足這個(gè)條件。我們要在8的基礎(chǔ)上得到一個(gè)數(shù)，使之同時(shí)滿足三個(gè)條件。為此，我們想到，可以使新數(shù)等于8與3和5的一個(gè)倍數(shù)的和。
因?yàn)?加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我們讓新數(shù)為8+ 15m，分別把m=1，2，?代進(jìn)去試驗(yàn)。當(dāng)試到m=3時(shí)，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎題目要求。 其實(shí)，我國古代學(xué)者早就研究過這個(gè)問題。
例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。\”正半月\”暗指15。\”除百零五\”的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比105大時(shí)，就105、105地往下減，使之小于105;這相當(dāng)于用105去除，求出余數(shù)。
這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時(shí)，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個(gè)乘積相加。加得的結(jié)果如果比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。 按這四句口訣暗示的方法計(jì)算韓信點(diǎn)的這隊(duì)士兵的人數(shù)可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，這隊(duì)士兵至少有53人。上面的方法所依據(jù)的理論，在**稱之為孫子定理，它充滿詩意的解題方法讓我深深體味到數(shù)學(xué)之美。
**古代的數(shù)學(xué)趣味問題用它多角度的解題方式鍛煉了我們的思維方式，也讓我們在思維的轉(zhuǎn)換中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣，體味到數(shù)學(xué)之美。
古代數(shù)學(xué)趣題及答案？
繩測井深（古代數(shù)學(xué)趣題）題意：用繩子測量井深，如果將繩子3折測井，井口外余繩長為4尺;如果將繩子4折測井，那么井口外也余下1尺。問井深幾尺？繩長幾尺？今有垣厚5尺，兩鼠對穿。
大鼠日一尺，小鼠日自半。
問：何日相逢？各穿幾何？題意：有垛厚5尺（舊時(shí)1尺=10寸）的墻壁，大小兩只老鼠同時(shí)從墻的兩面，沿一直線相對打洞。大鼠**天打進(jìn)一尺，以后為前**的兩倍;小鼠**天也打進(jìn)一尺，以后每天的進(jìn)度是前**的一半。
**古代**數(shù)學(xué)趣題之一
題目一：百雞問題 今有雞翁一，值錢五：雞母一，值錢三：雞雛三，值錢一。今百錢買雞百只。
問雞翁，雞母。
雞雛各幾何？題目二：韓信點(diǎn)兵 韓信練兵，每三人一列，余一人，每五人一列，余二人。每七人一列，余四人，十三人一列，余六人。問多少士兵？題目三：李白買酒 李白街上走。提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒，試問酒壺中，原有多少酒？題目四：兩鼠穿墻 今有墻厚五尺，兩鼠對穿。
大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍（每天的進(jìn)度為前**的兩倍），小鼠日自半（每天進(jìn)度是前**的一半）問何日相逢？各穿幾何？題目五：百羊問題 甲趕群羊逐草茂，乙拽肥羊一只隨其后，細(xì)問甲及一百否？甲云：若得這般一群湊，再加半群小半群。得你一只方來湊。
（意思是，再加這么多。然后再加半群，再加四分之一群，再加你的一只，就湊夠了一百只）。
古算趣題
1、雞兔同籠：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？2、數(shù)獨(dú);3、百雞百錢：我國古代數(shù)學(xué)書《張邱建算經(jīng)》中有如下問題，也就是**的百雞百錢問題。大意是：公雞1只值錢5，母雞1只值錢3，小雞3只值錢1。
今有錢100，買雞100只。
問公雞、母雞、小雞各買幾只？4、和尚吃饅頭：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾人？5、李白買酒無事街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。試問壺中原有多少酒？6、盈不足： 楊損是我國唐代一位清正廉明的尚書官。一次，屬下某部門有兩名小吏輪當(dāng)提升了，但當(dāng)時(shí)只能從中選拔出一個(gè)。
對他倆的資歷、職位和政績等作了一番考察、評比之后，發(fā)現(xiàn)兩人情況不相上下，難分高低。究竟提升誰好？主管這項(xiàng)工作的官員感到很為難，一時(shí)決定不下，于是去請示楊損。楊損聽了介紹以后，思慮良久，終于想出了一個(gè)方法，他說：“辦事所最需具備的技能之一，莫過于計(jì)算了，現(xiàn)在我出一道算題考考他們的計(jì)算能力。
”這道題是這樣的： “有人于黃昏時(shí)分在林中散步，無意中聽到幾個(gè)盜賊在分贓，偷的大概是布匹。只聽得盜賊說，如果每人分6匹，就余5匹;如果每人分7匹，就差8匹。試問有幾個(gè)盜賊在分多少匹布？” 楊損將這道題說給兩名候選小吏，要求把題目記下來，并且當(dāng)場在大廳的石階上演算。
同時(shí)，楊損還宣布：“誰先算對答案，就提拔誰?！?這一會(huì)兒，其中一名小吏呈上了正確答案：“共有13個(gè)盜賊，83匹布?！庇谑?，他馬上就被宣布得到提升。
由此，楊損也得到了清正廉明，辦事公道，任人唯賢的好名聲。 這位小吏是怎樣算出正確的結(jié)果的呢？7、借馬分馬：從前，***有一個(gè)老牧人，臨終前把三個(gè)兒子招到跟前說：“我*后沒有留下什么遺產(chǎn)給你們，僅有11匹馬。老大分二分之一，老二分四分之一，老三分六分之一。但不許把馬殺*或賣掉，你們自己分吧。
我國古代名著孫子算經(jīng)中記載的三大數(shù)學(xué)趣題指的是什么?
“隔墻算”、“剪管術(shù)”、“秦王暗點(diǎn)兵”。
“秦王暗點(diǎn)兵”原題為：\”今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問物幾何？\” 這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。
如果三件三件地?cái)?shù)，就會(huì)剩下兩件;如果五件五件地?cái)?shù)，就會(huì)剩下三件;如果七件七件地?cái)?shù)，也會(huì)剩下兩件。
問：這批物品共有多少件？
擴(kuò)展資料
對后世的影響最為深遠(yuǎn)，如下卷第31題即**的“雞兔同籠”問題，后傳至日本，被改為“鶴龜算”。
今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？答曰：雉二十 三，兔一十二。
術(shù)曰：上置三十五頭，下置九十四足。
半其足，得四十七，以少減多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。又術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
在《非正式會(huì)談》中，副會(huì)長楊迪搬出小學(xué)二年級的一道暑假奧數(shù)題，他說：“我不得不承認(rèn)這題好難！”面臨“雞兔同籠”這道頗有**特色的數(shù)學(xué)題，12位外國代表能否成功解出呢？
魔性錢多多居然算出620只雞和120只兔子的答案，遭到楊迪的無情吐槽，“620只雞為什么只有30個(gè)頭呢？是有多少只無頭雞混在里面？”惹得大家捧腹大笑。
而學(xué)霸功必?fù)P更是傲嬌寫出“畢業(yè)了”三個(gè)大字，“我畢業(yè)了所以不用寫作業(yè)”。學(xué)霸任性逃避，考慮過學(xué)渣的感受嗎？
法國小伙宋博寧倒是動(dòng)作神速，唰唰唰地寫滿了題板，更是搬出微積分的大牛算法，看起來很厲害的樣子，然而也無濟(jì)于事。只有“**貝”不論做什么都是有模有樣，不僅用方程式成功解題，并且邏輯清晰講解流暢，享受眾人膜拜的目光。
古代數(shù)學(xué)趣題幫忙找個(gè)
趣題1：能不能把一個(gè)正方形剪成6個(gè)大大小小的正方形？ 趣題2：兩支長度相等的蠟燭，**支能點(diǎn)4小時(shí)，第二支能點(diǎn)3小時(shí)，同時(shí)點(diǎn) 燃這兩支蠟燭，幾小時(shí)后**支的長度是第二支的兩倍？ 趣題3：某數(shù)加上168得到一個(gè)正整數(shù)的平方,加上100也能得到一個(gè)正整數(shù)的 平方.請問這個(gè)數(shù)是多少？ 趣題4：某人步行了5小時(shí)，先沿著平路走，然后上了山，**又沿原路走回 原地。假如他在平路上每小時(shí)走4千米，上山每小時(shí)走3千米，下山每 小時(shí)走6千米，試求他5小時(shí)共走了多少千米？ 趣題5：趙**的歲數(shù)有如下特點(diǎn)：（1）它的3次方是一個(gè)四位數(shù)，而4次方 是一個(gè)六位數(shù);（2）這四位數(shù)和六位數(shù)的各位數(shù)字正好是0-9這十個(gè) 數(shù)字。
問：趙**今年多少歲？ 答案：請您先想想再看答案~~ 趣題1：剪成9個(gè)是容易的，把其中的四個(gè)視為一個(gè)時(shí),剩下的一個(gè)就是5個(gè)了，故能剪成6個(gè)。
趣題2：2．4小時(shí) 趣題3：此數(shù)為156。 趣題4：此人在5小時(shí)**走了20千米。 趣題5：趙**今年十八歲。
